5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь.

Решение:

1. Связь радиуса вписанной окружности (r) и стороны правильного треугольника (a):

   \[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

2. Выразим сторону треугольника через радиус:

   \[ a = 2r\sqrt{3} \]

3. Подставляем r = 12,3 см:

   \[ a = 2 \times 12.3 \times \sqrt{3} = 24.6\sqrt{3} \text{ см} \]

4. Площадь правильного треугольника (S):

   \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

5. Подставляем найденное значение стороны:

   \[ S = \frac{(24.6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{24.6^2 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{605.16 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{1815.48 \sqrt{3}}{4} \approx 453.87\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

   Альтернативный расчет площади через радиус вписанной окружности:

   \[ S = 3r^2\sqrt{3} \]

   \[ S = 3 \times (12.3)^2 \times \sqrt{3} = 3 \times 151.29 \times \sqrt{3} = 453.87\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Сторона треугольника равна 24.6√3 см, площадь равна 453.87√3 см².