3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетом 5см и гипотенузой 13 см. Высота призмы 8 см. Найдите площадь полной поверхности

Задание 3. Площадь полной поверхности призмы

Дано:

• Основание призмы — прямоугольный треугольник.
• Катет основания \( a = 5 \) см.
• Гипотенуза основания \( c = 13 \) см.
• Высота призмы \( H = 8 \) см.

Найти: Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} \).

Решение:

1. Найдём второй катет основания (b):
   По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
   \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
   \[ 25 + b^2 = 169 \]
   \[ b^2 = 169 - 25 = 144 \]
   \[ b = \sqrt{144} = 12 \] см.
2. Найдём площадь одного основания (S_осн):
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \] см².
3. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок):
   Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
   Периметр основания \( P_{осн} = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 \) см.
   \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 30 \cdot 8 = 240 \] см².
4. Найдём площадь полной поверхности (S_полн):
   Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:
   \[ S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} \]
   \[ S_{полн} = 2 \cdot 30 + 240 = 60 + 240 = 300 \] см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 300 см².