7. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 600 и равна 6√3 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса

Задание 7. Площадь боковой поверхности конуса

Дано:

• Образующая конуса \( l = 6\sqrt{3} \) см.
• Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 60^\circ \).

Найти: Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} \).

Решение:

1. Найдём радиус основания (r) и высоту конуса (h):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса (h), радиусом основания (r) и образующей (l). Угол между образующей и плоскостью основания — это угол \( \alpha \).
2. Высота \( h \) является противолежащим катетом к углу \( \alpha \), а радиус \( r \) — прилежащим катетом.
3. Используем тригонометрические соотношения:
   \( \sin(\alpha) = \frac{h}{l} \)
   \[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{6\sqrt{3}} \]
   \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6\sqrt{3}} \]
   \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9 \] см.
4. \( \cos(\alpha) = \frac{r}{l} \)
   \[ \cos(60^\circ) = \frac{r}{6\sqrt{3}} \]
   \[ \frac{1}{2} = \frac{r}{6\sqrt{3}} \]
   \[ r = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \] см.
5. Найдём площадь боковой поверхности конуса (S_бок):
   Формула площади боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l \)
   \[ S_{бок} = \pi \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3}) \]
   \[ S_{бок} = \pi \cdot 3 \cdot 6 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \]
   \[ S_{бок} = \pi \cdot 18 \cdot 3 = 54 \pi \] см².

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна 54\(\pi\) см².