№3. Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 55°. Найдите угол между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

Так как треугольник ABC прямоугольный при C, то ∠A = 90° − 55° = 35°.

Высота CH перпендикулярна AB, поэтому в треугольнике BCH: ∠BCH = 90° − ∠B = 35°.

Медиана CM проведена к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин, значит CM = AM. В треугольнике ACM углы при A и C равны, поэтому ∠ACM = ∠A = 35°. Следовательно, ∠MCB = 90° − 35° = 55°.

Точка H лежит на AB, а лучи CH и CM расположены внутри прямого угла ACB. Тогда угол между ними равен разности: 55° − 35° = 20°.

Ответ: 20°.