№6. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, высота BH равна 9, AB = 3√13 (см. рис. 41). Найдите tg ∠ABC.

Пусть \(AC=BC=s\), а \(AB=c=3\sqrt{13}\). Площадь можно выразить через основание AB и высоту BH, а также через стороны AC и BC и угол C:

\(S=\frac12 c\cdot9=\frac12s^2\sin C\).

По теореме косинусов для равнобедренного треугольника \(c^2=2s^2(1-\cos C)\), поэтому \(s^2\sin C=\frac{c^2\sin C}{2(1-\cos C)}\).

Приравнивая выражения площади, получаем \(9c=\frac{c^2\sin C}{2(1-\cos C)}\), откуда \(\frac{1-\cos C}{\sin C}=\frac{c}{18}=\frac{\sqrt{13}}6\). Левая часть равна \(\tan\frac C2\).

Обозначим \(t=\tan\frac C2=\frac{\sqrt{13}}6\). Так как \(\angle ABC=\frac{180°-C}{2}=90°-\frac C2\), то \(\tan\angle ABC=\cot\frac C2=\frac1t=\frac6{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}\).

Ответ: \(\frac{6\sqrt{13}}{13}\).