3. Отрезки KC и MN пересекаются в точке O, так что отрезок KM параллелен отрезку NC, докажите, что треугольники KMO и NCO подобны, найдите KM, если ON = 10 см, MO = 20 см, NC = 15 см.

Так как отрезки KC и MN пересекаются в O, точки K, O, C лежат на одной прямой, а точки M, O, N — на другой.

Углы \(KOM\) и \(CON\) вертикальные, поэтому равны. Поскольку \(KM\parallel NC\), углы \(KMO\) и \(CNO\) равны как соответственные углы. Следовательно, \(\triangle KMO\sim\triangle CNO\) по двум углам, что означает подобие треугольников KMO и NCO.

По соответствию вершин \(M\leftrightarrow N\), \(K\leftrightarrow C\):

\(\dfrac{KM}{NC}=\dfrac{MO}{NO}=\dfrac{20}{10}=2\).

\(KM=2\cdot15=30\) см.

Ответ: \(KM=30\) см.