3. Отрезок АВ = 20 касается окружности радиуса 21 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD.

Задание 3

Дано:

• Отрезок \( AB = 20 \).
• Окружность с центром \( O \) и радиусом \( R = 21 \).
• Точка \( B \) лежит на окружности, \( OB = 21 \).
• Отрезок \( AB \) касается окружности в точке \( B \), значит \( AB ⊥ OB \).
• \( Δ OBA \) — прямоугольный треугольник.
• Точка \( D \) лежит на \( AO \) и на окружности.

Найти: Длину отрезка \( AD \).

Решение:

1. Так как \( AB \) касается окружности в точке \( B \), то радиус \( OB \) перпендикулярен касательной \( AB \). Следовательно, \( Δ OBA \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( ∠ OBA \).
2. Найдем длину гипотенузы \( OA \) по теореме Пифагора: \[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]
3. \( OA^2 = 21^2 + 20^2 = 441 + 400 = 841 \).
4. \( OA = √{841} = 29 \).
5. Точка \( D \) лежит на окружности, поэтому расстояние от центра \( O \) до точки \( D \) равно радиусу окружности: \( OD = OB = 21 \).
6. Точка \( D \) также лежит на отрезке \( AO \).
7. Найдем длину отрезка \( AD \) как разность длин отрезков \( AO \) и \( OD \): \[ AD = AO - OD \]
8. \( AD = 29 - 21 = 8 \).

Ответ: 8