6. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 6

Дано:

• Окружность с центром \( O \).
• \( AC \) и \( BD \) — диаметры.
• \( ∠ AOD = 108^° \).

Найти: Вписанный угол \( ∠ ACB \) в градусах.

Решение:

1. Центральный угол \( ∠ AOD = 108^° \).
2. Вертикальный ему угол \( ∠ BOC = ∠ AOD = 108^° \) (как вертикальные углы при пересечении диаметров \( AC \) и \( BD \)).
3. Угол \( ∠ ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \).
4. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу \( AB \), равен \( ∠ AOB \).
5. \( ∠ AOB \) и \( ∠ AOD \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^° \).
6. \( ∠ AOB = 180^° - ∠ AOD = 180^° - 108^° = 72^° \).
7. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
8. \( ∠ ACB = \frac{1}{2} ∠ AOB \)
9. \( ∠ ACB = \frac{1}{2} × 72^° = 36^° \).

Ответ: 36