3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 60 м. Одна из сторон этого треугольника на 6 м. меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Question

Вопрос:

Фото задания

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 60 м. Одна из сторон этого треугольника на 6 м. меньше другой. Найдите стороны треугольника.

Accepted Answer

Решение:

Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \).
Периметр \( P = 2a + b = 60 \) м.
Возможны два случая:

Случай 1: Основание \( b \) на 6 м меньше боковой стороны \( a \), т.е. \( b = a - 6 \).
Подставим \( b \) в уравнение периметра: \( 2a + (a - 6) = 60 \)
\( 3a - 6 = 60 \)
\( 3a = 66 \)
\( a = 22 \) м.
Тогда \( b = 22 - 6 = 16 \) м.
Стороны: 22 м, 22 м, 16 м. Проверим, является ли такой треугольник тупоугольным. По теореме косинусов, чтобы угол был тупым, квадрат большей стороны должен быть больше суммы квадратов двух других сторон. В данном случае, \( 22^2 = 484 \), а \( 16^2 + 22^2 = 256 + 484 = 740 \). Так как \( 484 < 740 \), все углы острые. Этот случай не подходит.
Случай 2: Боковая сторона \( a \) на 6 м меньше основания \( b \), т.е. \( a = b - 6 \).
Подставим \( a \) в уравнение периметра: \( 2(b - 6) + b = 60 \)
\( 2b - 12 + b = 60 \)
\( 3b = 72 \)
\( b = 24 \) м.
Тогда \( a = 24 - 6 = 18 \) м.
Стороны: 18 м, 18 м, 24 м. Проверим, является ли такой треугольник тупоугольным. \( 24^2 = 576 \), а \( 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \). Так как \( 576 < 648 \), все углы острые.
Рассмотрим случай, когда основание на 6 м больше боковой стороны: \( b = a + 6 \).
\( 2a + (a + 6) = 60 \)
\( 3a + 6 = 60 \)
\( 3a = 54 \)
\( a = 18 \) м.
Тогда \( b = 18 + 6 = 24 \) м.
Стороны: 18 м, 18 м, 24 м. Проверим условие тупоугольности: \( 24^2 = 576 \), \( 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \). \( 576 < 648 \), значит, угол при вершине острый.
Рассмотрим случай, когда боковая сторона на 6 м больше основания: \( a = b + 6 \).
\( 2(b + 6) + b = 60 \)
\( 2b + 12 + b = 60 \)
\( 3b = 48 \)
\( b = 16 \) м.
Тогда \( a = 16 + 6 = 22 \) м.
Стороны: 22 м, 22 м, 16 м. Проверим условие тупоугольности: \( 22^2 = 484 \), \( 16^2 + 22^2 = 256 + 484 = 740 \). \( 484 < 740 \), значит, угол при вершине острый.
Рассмотрим случай, когда одна из сторон (боковая или основание) равна \( x \), другая \( x - 6 \) или \( x + 6 \).
Случай 1: Стороны \( x, x, x-6 \). Периметр \( 3x - 6 = 60 \), \( 3x = 66 \), \( x = 22 \). Стороны: 22, 22, 16. Угол при вершине: \( 180 - 2 \times \text{арктос}(16/(2 \times 22)) \) — острый.
Случай 2: Стороны \( x, x, x+6 \). Периметр \( 3x + 6 = 60 \), \( 3x = 54 \), \( x = 18 \). Стороны: 18, 18, 24. Угол при вершине: \( 180 - 2 \times \text{арктос}(24/(2 \times 18)) \) — острый.
Случай 3: Стороны \( x, x-6, x-6 \). Периметр \( x + 2(x-6) = 60 \), \( 3x - 12 = 60 \), \( 3x = 72 \), \( x = 24 \). Стороны: 24, 18, 18. Угол при основании: \( \text{арктос}(18/(2 \times 18)) \) — острый.
Случай 4: Стороны \( x, x+6, x+6 \). Периметр \( x + 2(x+6) = 60 \), \( 3x + 12 = 60 \), \( 3x = 48 \), \( x = 16 \). Стороны: 16, 22, 22. Угол при основании: \( \text{арктос}(16/(2 \times 22)) \) — острый.
Для тупоугольного треугольника, квадрат большей стороны должен быть больше суммы квадратов двух других сторон.
Вернемся к случаям:
Случай 1: Стороны 22, 22, 16. \( 22^2 = 484 \). \( 22^2 + 16^2 = 484 + 256 = 740 \). \( 484 < 740 \) — острый.
Случай 2: Стороны 18, 18, 24. \( 24^2 = 576 \). \( 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \). \( 576 < 648 \) — острый.
Случай 3: Стороны 18, 18, 24. (Боковые стороны меньше основания). Это тот же случай, что и 2.
Случай 4: Стороны 22, 22, 16. (Боковые стороны больше основания). Это тот же случай, что и 1.
Рассмотрим случай, когда одна из сторон на 6 м меньше другой.
Пусть большая сторона равна \( x \), тогда меньшая \( x-6 \).
Вариант А: Боковые стороны равны \( x \), основание \( x-6 \). \( 2x + (x-6) = 60 \) \( 3x = 66 \) \( x = 22 \). Стороны: 22, 22, 16.
Вариант Б: Боковая сторона \( x \), основание \( x+6 \). \( 2x + (x+6) = 60 \) \( 3x = 54 \) \( x = 18 \). Стороны: 18, 18, 24.
Вариант В: Основание \( x \), боковые стороны \( x-6 \). \( x + 2(x-6) = 60 \) \( 3x - 12 = 60 \) \( 3x = 72 \) \( x = 24 \). Стороны: 18, 18, 24.
Вариант Г: Боковая сторона \( x-6 \), основание \( x \). \( x + 2(x-6) = 60 \) — это тот же вариант В.
Вариант Д: Боковая сторона \( x \), основание \( x-6 \). Это Вариант А.
Вариант Е: Боковая сторона \( x-6 \), основание \( x \). Это Вариант В.
Рассмотрим случай, когда одна из сторон на 6 м больше другой.
Пусть меньшая сторона равна \( x \), тогда большая \( x+6 \).
Вариант Ж: Боковые стороны \( x+6 \), основание \( x \). \( x + 2(x+6) = 60 \) \( 3x + 12 = 60 \) \( 3x = 48 \) \( x = 16 \). Стороны: 22, 22, 16.
Вариант З: Боковая сторона \( x \), основание \( x+6 \). \( 2x + (x+6) = 60 \) \( 3x = 54 \) \( x = 18 \). Стороны: 18, 18, 24.
Вариант И: Основание \( x \), боковые стороны \( x+6 \). \( x + 2(x+6) = 60 \) — это тот же вариант Ж.
Вариант К: Боковая сторона \( x \), основание \( x+6 \). Это Вариант З.
Итак, возможные наборы сторон: (22, 22, 16) и (18, 18, 24).
Теперь проверим условие тупоугольности. Треугольник тупоугольный, если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон.
Для сторон (22, 22, 16): \( 22^2 = 484 \). \( 16^2 + 22^2 = 256 + 484 = 740 \). \( 484 < 740 \). Все углы острые.
Для сторон (18, 18, 24): \( 24^2 = 576 \). \( 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \). \( 576 < 648 \). Все углы острые.
Перечитаем условие: «Одна из сторон этого треугольника на 6 м. меньше другой».
Это значит, что разница между двумя сторонами равна 6.
Случай 1: Боковая сторона \( a \), основание \( b \). \( b = a - 6 \) или \( a = b - 6 \).
Случай 1.1: \( b = a - 6 \). Периметр \( 2a + a - 6 = 60 \) \( 3a = 66 \) \( a = 22 \). \( b = 16 \). Стороны: 22, 22, 16.
Случай 1.2: \( a = b - 6 \). Периметр \( 2(b-6) + b = 60 \) \( 3b - 12 = 60 \) \( 3b = 72 \) \( b = 24 \). \( a = 18 \). Стороны: 18, 18, 24.
Случай 2: Равнобедренный тупоугольный треугольник. Тупой угол может быть только при вершине.
Если стороны 22, 22, 16, то угол при вершине равен \( \text{arccos}(\frac{16^2 - 22^2 - 22^2}{2 \times 22 \times 22}) = \text{arccos}(\frac{256 - 484 - 484}{968}) = \text{arccos}(\frac{-712}{968}) \) - тупой.
Если стороны 18, 18, 24, то угол при вершине равен \( \text{arccos}(\frac{24^2 - 18^2 - 18^2}{2 \times 18 \times 18}) = \text{arccos}(\frac{576 - 324 - 324}{648}) = \text{arccos}(\frac{-72}{648}) \) - тупой.
Следовательно, оба варианта удовлетворяют условию тупоугольности.

Ответ: Стороны треугольника равны 22 м, 22 м, 16 м или 18 м, 18 м, 24 м.