3. Площадь основания конуса равна 45. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 8, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Решение:

Площадь основания конуса \( S_{осн} = 45 \). Высота конуса \( H \) делится плоскостью на отрезки 4 и 8. Так как отсчет ведется от вершины, то высота отсеченного конуса \( h = 4 \), а высота усеченного конуса \( H - h = 8 \). Следовательно, общая высота конуса \( H = 4 + 8 = 12 \).

Площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию, относится к площади основания как квадрат отношения их высот:

• \( \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2 \)
• \( S_{сеч} = S_{осн} · \left(\frac{h}{H}\right)^2 \)

Подставляем значения:

• \( S_{сеч} = 45 · \left(\frac{4}{12}\right)^2 \)
• \( S_{сеч} = 45 · \left(\frac{1}{3}\right)^2 \)
• \( S_{сеч} = 45 · \frac{1}{9} \)
• \( S_{сеч} = 5 \)

Финальный ответ:

Ответ: 5