3. Площадь основания конуса равна 45. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 8, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Решение:

1. Определяем размеры конуса:

   Площадь основания конуса (Sосн) равна 45. Формула площади основания: Sосн = πr². Отсюда можно найти радиус основания, но для решения этой задачи он не потребуется.

   Высота конуса (H) разделена плоскостью на два отрезка: 4 и 8. Поскольку отрезки считаются от вершины, то высота меньшего конуса (h) равна 4, а высота всего конуса (H) равна 4 + 8 = 12.

2. Находим площадь сечения:

   Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший подобный конус. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

   Коэффициент подобия (k) равен отношению высот меньшего и большего конусов: k = h / H = 4 / 12 = 1/3.

   Отношение площадей оснований (и, следовательно, площадей сечения и всего основания) равно квадрату коэффициента подобия: Sсеч / Sосн = k².

   Sсеч / 45 = (1/3)²

   Sсеч / 45 = 1/9

   Sсеч = 45 * (1/9)

   Sсеч = 5

Ответ: 5