5. Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10.

Решение:

а) Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна \( S_{бок} = 2 \pi R H \).

Площадь основания цилиндра равна \( S_{осн} = \pi R^2 \).

По условию \( H = 5 \) и \( R = 10 \).

Вычислим площадь боковой поверхности:

• \( S_{бок} = 2 \pi √{10} √{5} = 100 \pi \)

Вычислим площадь основания:

• \( S_{осн} = \pi √{10}^2 = 100 \pi \)

Таким образом, \( S_{бок} = S_{осн} \). Доказано.

б) Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

Плоскость, проходящая параллельно оси цилиндра, пересекает его по прямоугольнику. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( H = 5 \). Другая сторона равна длине хорды основания, которая находится на расстоянии 6 от центра. Найдем длину хорды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом основания \( R \), расстоянием от центра до хорды \( d=6 \) и половиной хорды \( \frac{a}{2} \).

• \( R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2 \)
• \( 10^2 = 6^2 + (\frac{a}{2})^2 \)
• \( 100 = 36 + (\frac{a}{2})^2 \)
• \( (\frac{a}{2})^2 = 100 - 36 = 64 \)
• \( \frac{a}{2} = \sqrt{64} = 8 \)
• \( a = 2 \cdot 8 = 16 \)

Площадь сечения (прямоугольника) равна произведению его сторон:

• \( S_{сеч} = a · H = 16 · 5 = 80 \)

Финальный ответ:

Ответ: а) Площадь боковой поверхности равна площади основания (100π). б) 80.