6. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 известны рёбра: АВ= 4√2, АА1 = 4. Точка М - середина ребра ВС.

Решение:

Призма правильная треугольная, значит, в основании лежит равносторонний треугольник ABC, а боковые грани - прямоугольники. Ребро основания \( AB = 4\sqrt{2} \), высота призмы \( AA_1 = 4 \). Точка M - середина ребра BC.

а) Докажите, что прямые В1С и С1М перпендикулярны.

Рассмотрим векторы \( \vec{B_1C} \) и \( \vec{C_1M} \). Найдем их координаты. Пусть \( C = (0, 0, 0) \). Тогда \( B = (4\sqrt{2}, 0, 0) \). Так как треугольник равносторонний, \( A = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}\sqrt{3}, 0) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0) \).

Вершины призмы:

• \( C = (0, 0, 0) \)
• \( B = (4\sqrt{2}, 0, 0) \)
• \( A = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0) \)
• \( C_1 = (0, 0, 4) \)
• \( B_1 = (4\sqrt{2}, 0, 4) \)
• \( A_1 = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 4) \)

Точка M - середина BC, значит \( M = (\frac{4\sqrt{2}+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (2\sqrt{2}, 0, 0) \).

Вектор \( \vec{B_1C} = C - B_1 = (0 - 4\sqrt{2}, 0 - 0, 0 - 4) = (-4\sqrt{2}, 0, -4) \).

Вектор \( \vec{C_1M} = M - C_1 = (2\sqrt{2} - 0, 0 - 0, 0 - 4) = (2\sqrt{2}, 0, -4) \).

Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{B_1C} \) и \( \vec{C_1M} \):

• \( \vec{B_1C} · \vec{C_1M} = (-4\sqrt{2})(2\sqrt{2}) + (0)(0) + (-4)(-4) \)
• \( = -8 · 2 + 0 + 16 \)
• \( = -16 + 16 = 0 \)

Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны, следовательно, прямые \( B_1C \) и \( C_1M \) перпендикулярны. Доказано.

б) Найдите угол между прямой С1М и плоскостью грани АВВ1A1.

Плоскость грани \( ABB_1A_1 \) - это плоскость \( xOz \) в нашей системе координат, если выбрать оси соответствующим образом. Или, проще, это плоскость, содержащая ребра \( AB \) и \( A_1B_1 \). В нашей системе координат это плоскость \( y=0 \) для точки B и B1, но нужно учесть наклон A и A1.

Удобнее будет использовать другой подход. Найдем вектор нормали к плоскости \( ABB_1A_1 \) и вектор \( \vec{C_1M} \).

Плоскость \( ABB_1A_1 \) задается векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AA_1} \).

• \( \vec{AB} = (4\sqrt{2}, 0, 0) \) (если C - начало координат)
• \( \vec{AA_1} = (0, 0, 4) \)

Если выбрать начало координат в точке A, то \( A = (0, 0, 0) \), \( B = (4\sqrt{2}, 0, 0) \), \( A_1 = (0, 0, 4) \), \( B_1 = (4\sqrt{2}, 0, 4) \). Тогда \( C = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{6}, 0) \) и \( M \) - середина BC. \( B = (4\sqrt{2}, 0, 0) \), \( C = (2√{2}, 2√{6}, 0) \). \( M = (\frac{4√{2} + 2√{2}}{2}, \frac{0 + 2√{6}}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3√{2}, √{6}, 0) \). \( C_1 = (2√{2}, 2√{6}, 4) \).

Вектор \( \vec{C_1M} = M - C_1 = (3√{2} - 2√{2}, √{6} - 2√{6}, 0 - 4) = (√{2}, -√{6}, -4) \).

Плоскость \( ABB_1A_1 \) является плоскостью \( y=0 \) (если A - начало координат и ось Y направлена в сторону C).

Угол \( \theta \) между прямой и плоскостью определяется через синус:

• \( \sin \theta = \frac{| \vec{C_1M} · ᵇ |}{| \vec{C_1M} | · | \u1D47 |} \), где \( ᵇ \) - нормальный вектор к плоскости.

В плоскости \( ABB_1A_1 \), если выбрать A=(0,0,0), B=(4√2,0,0), A1=(0,0,4), B1=(4√2,0,4), то эта плоскость - xOz, то есть y=0. Нормальный вектор к этой плоскости - \( ᵇ = (0, 1, 0) \).

\( |\vec{C_1M}| = √{(√{2})^2 + (-√{6})^2 + (-4)^2} = √{2 + 6 + 16} = √{24} = 2√{6} \).

\( |\u1D47| = 1 \).

\( \vec{C_1M} · ᵇ = (√{2})(0) + (-√{6})(1) + (-4)(0) = -√{6} \).

\( \sin \theta = \frac{|-√{6}|}{2√{6} · 1} = rac{√{6}}{2√{6}} = \frac{1}{2} \).

\( \theta = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^{\circ} \).

Финальный ответ:

Ответ: а) Доказано. б) 30°.