3. Постройте график функции y = -x² - 6x + 7. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Функция y = -x² - 6x + 7 является квадратичной функцией, график которой - парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при x² отрицательный).

а) Область определения функции: так как это многочлен, то область определения все действительные числа: x ∈ (-∞, +∞).

Чтобы найти область значения, найдем вершину параболы. Координата x вершины параболы x₀ = -b/2a = -(-6)/(2*(-1)) = -3.

Подставляем x₀ в функцию: y₀ = -(-3)² - 6*(-3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16.

Вершина параболы находится в точке (-3, 16), и так как парабола направлена ветвями вниз, то наибольшее значение функции равно 16. Область значений: y ∈ (-∞, 16].

б) Найдем нули функции, решив уравнение -x² - 6x + 7 = 0.

Умножим на -1: x² + 6x - 7 = 0.

По теореме Виета: x₁ = -7 и x₂ = 1. Таким образом, нули функции: x = -7 и x = 1.

в) Промежутки знакопостоянства.
Функция положительна (y > 0) между нулями: -7 < x < 1.
Функция отрицательна (y < 0) при x < -7 и x > 1.

г) Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает до вершины параболы, то есть на промежутке x ∈ (-∞, -3], и убывает после вершины на промежутке x ∈ [-3, +∞).

д) Наибольшее значение функции равно 16 (в вершине), наименьшего значения нет (стремится к -∞).