3. Постройте график функции \(y=\frac{2x-3}{x-5}\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значений функции; б) промежутки возрастания и убывания; в) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения; г) нули и точку пересечения графика с осью ординат.

Преобразуем функцию: \(y=\frac{2x-3}{x-5}=2+\frac{7}{x-5}\). Поэтому график — гипербола с вертикальной асимптотой \(x=5\) и горизонтальной асимптотой \(y=2\).

Область определения: знаменатель не равен нулю, значит, \(D(y)=\mathbb{R}\setminus\{5\}\). Значение \(y=2\) невозможно, поскольку \(2+\frac{7}{x-5}\ne2\), поэтому \(E(y)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Производная \(y'=-\frac{7}{(x-5)^2}<0\) при всех \(x\ne5\); функция убывает на каждом промежутке области определения: \((-;5)\) и \((5;+)\).

Нуль функции получаем из \(2x-3=0\): \(x=\frac{3}{2}\). Для знака учитываем критические точки \(\frac{3}{2}\) и \(5\): функция положительна на \((-;\frac{3}{2})\) и \((5;+)\), отрицательна на \((\frac{3}{2};5)\).

При \(x=0\): \(y=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\), поэтому пересечение с осью ординат — \((0;\frac{3}{5})\).

Ответ: \(D(y)=\mathbb{R}\setminus\{5\}\); \(E(y)=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); убывает на \((-;5)\) и \((5;+)\); положительна на \((-;\frac{3}{2})\cup(5;+)\), отрицательна на \((\frac{3}{2};5)\); нуль \(x=\frac{3}{2}\); пересечение с осью ординат \((0;\frac{3}{5})\).