3. Постройте куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной 1 см. Найдите угол между векторами $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DB_1}$, $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Постройте куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной 1 см. Найдите угол между векторами $\overrightarrow{AA_1}$ и…$ Фото задания

3. Постройте куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной 1 см. Найдите угол между векторами $\overrightarrow{AA_1}$ и $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DB_1}$, $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$.

Accepted Answer

По расположению текста на фото неясно, какие именно векторы образуют последнюю пару (или пары): виден фрагмент «$\overrightarrow{DB_1}$, $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{AC_1}$». Поэтому однозначно решить последнюю часть нельзя. Для неё нужно прислать более чёткое изображение этой строки.

Первые два угла определяются однозначно. Введём координаты куба: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$. Тогда $\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)$, $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$, $\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$.

1) $\overrightarrow{AA_1}\cdot\overrightarrow{AC}=0$, поэтому векторы перпендикулярны и угол равен $90^\circ$.

2) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1$, $|\overrightarrow{AB}|=1$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt2$. Значит, $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt2}$, откуда $\theta=45^\circ$.

Ответ: первые два угла равны $90^\circ$ и $45^\circ$; для оставшихся векторов нужна уточнённая запись условия.