3. Преобразуйте выражение: a) \(\left(\frac{1}{3}x^{-1}y^2\right)^{-2}\); б) \(\left\(\frac{3x^{-1}}{4y^{-3}}\right\)^{-1} \(\cdot\) 6xy^2.

Решение:

1. a) Используем свойства степеней \( (ab)^n = a^n b^n \) и \( (a^m)^n = a^{mn} \), а также \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
   \[ \left(\frac{1}{3}x^{-1}y^2\right)^{-2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \cdot (x^{-1})^{-2} \cdot (y^2)^{-2} = 3^2 \cdot x^{(-1)\cdot(-2)} \cdot y^{2\cdot(-2)} = 9 \cdot x^2 \cdot y^{-4} = \frac{9x^2}{y^4} \]
2. б) Используем свойства степеней \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) и \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \), а также \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):
   \[ \left(\frac{3x^{-1}}{4y^{-3}}\right)^{-1} \cdot 6xy^2 = \frac{3^{-1}x^{-1\cdot(-1)}}{4^{-1}y^{-3\cdot(-1)}} \cdot 6xy^2 = \frac{3^{-1}x^1}{4^{-1}y^3} \cdot 6xy^2 = \frac{4x}{3y^3} \cdot 6xy^2 = \frac{4x \cdot 6xy^2}{3y^3} = \frac{24x^2y^2}{3y^3} = \frac{8x^2}{y} \]

Ответ: a) \(\frac{9x^2}{y^4}\); б) \(\frac{8x^2}{y}\).