3. Прямая a пересекает плоскость β в точке C и образует с плоскостью угол 45°. A ∈ a, точка B — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки A. CB = 7, найдите AC.

Так как AB перпендикулярна плоскости β, треугольник ABC прямоугольный при B. Угол между прямой AC и плоскостью β равен углу ACB.

\(\cos 45^\circ = \frac{CB}{AC}\), поэтому \(AC = \frac{7}{\cos 45^\circ} = \frac{7}{\sqrt{2}/2} = 7\sqrt{2}\).

Ответ: \(7\sqrt{2}\).