4. В кубе найдите угол между прямыми AB₁ и C₁C.

Обозначим ребро куба через \(a\). Зададим координаты: \(A(0,0,0)\), \(B_1(0,a,a)\), \(C_1(a,a,a)\), \(C(a,a,0)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB_1}=(0,a,a)\), \(\overrightarrow{C_1C}=(0,0,-a)\).

Косинус угла между прямыми вычисляем по модулю скалярного произведения:

\(\cos\varphi = \frac{|\overrightarrow{AB_1}\cdot\overrightarrow{C_1C}|}{|\overrightarrow{AB_1}|\,|\overrightarrow{C_1C}|} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Ответ: \(45^\circ\).