№ 3. Решить неравенства методом интервалов: а) \((5x-2{,}5)(2x+4{,}2)(4x+8)\le0\); б) \((5x-x)(x-7)(x-9)^2\ge0\).

а) Нули множителей: \(x=\frac12\), \(x=-\frac{21}{10}\), \(x=-2\). Располагаем их по возрастанию: \(-\frac{21}{10}<-2<\frac12\). Все нули простые, поэтому знак произведения при переходе через каждый нуль меняется. Старший коэффициент произведения положителен, следовательно, справа от наибольшего корня знак «+».

Для знака «−» подходят интервалы \(( -\frac{21}{10};-2)\) и \((\frac12;+\\infty)\). Поскольку неравенство нестрогое, включаем нули множителей.

Ответ: \(x\in[-\frac{21}{10};-2]\cup[\frac12;+\infty)\).

б) Упростим \(5x-x=4x\). Получаем \(4x(x-7)(x-9)^2\ge0\). Нули: \(0\), \(7\) и \(9\); при \(9\) множитель имеет чётную степень, поэтому знак не меняется. На интервале \((7;9)\) произведение отрицательно, а на \((9;+\infty)\) положительно. С учётом знаков на остальных интервалах и включения нулей получаем:

Ответ: \(x\in(-\infty;0]\cup[7;+\infty)\).