3) Решить систему уравнений: а) \(\begin{cases}x-y=2,\\3x-y=6;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}2y-3x=4,\\3y+3x=9;\end{cases}\) в) \(\begin{cases}x-2y+z=0,\\2x+2y-z=3,\\4x-y+z=5.\end{cases}\) Пункт б) — с помощью определителя.

а) Вычтем первое уравнение из второго: \(2x=4\), значит \(x=2\). Подставим в первое: \(2-y=2\), откуда \(y=0\).

Ответ: \((x,y)=(2,0)\).

б) Запишем систему в стандартном виде: \(-3x+2y=4\), \(3x+3y=9\). По правилу Крамера:

\(\Delta=\begin{vmatrix}-3&2\\3&3\end{vmatrix}=-9-6=-15\).

\(\Delta_x=\begin{vmatrix}4&2\\9&3\end{vmatrix}=12-18=-6\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}-3&4\\3&9\end{vmatrix}=-27-12=-39\).

Следовательно, \(x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac25\), \(y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{13}{5}\).

Ответ: \((x,y)=(\frac25,\frac{13}{5})\).

в) Из первого уравнения \(z=-x+2y\). Подставим во второе: \(3x=3\), следовательно, \(x=1\). Подстановка в третье даёт \(3+3y=5\), поэтому \(y=\frac23\). Тогда \(z=-1+\frac43=\frac13\).

Ответ: \((x,y,z)=(1,\frac23,\frac13)\).