3). Решить систему уравнений (с помощью определителя): а) {x − y = 2; 3x − y = 6}. б) {2y − 3x = 4; 3y + 3x = 9}. в) {x − 2y + z = 0; 2x + 2y − z = 3; 4x − y + z = 5}.

Используем правило Крамера: если определитель матрицы коэффициентов ненулевой, решение находится отношениями определителей.

а) \(\Delta=\begin{vmatrix}1&-1\\3&-1\end{vmatrix}=2\). \(\Delta_x=\begin{vmatrix}2&-1\\6&-1\end{vmatrix}=4\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}1&2\\3&6\end{vmatrix}=0\). Поэтому \(x=\Delta_x/\Delta=2\), \(y=\Delta_y/\Delta=0\).

б) Запишем систему в порядке переменных \(x,y\): \(-3x+2y=4\), \(3x+3y=9\). Тогда \(\Delta=\begin{vmatrix}-3&2\\3&3\end{vmatrix}=-15\), \(\Delta_x=\begin{vmatrix}4&2\\9&3\end{vmatrix}=-6\), \(\Delta_y=\begin{vmatrix}-3&4\\3&9\end{vmatrix}=-39\). Следовательно, \(x=\frac{2}{5}\), \(y=\frac{13}{5}\).

в) Для переменных \(x,y,z\): \(\Delta=\begin{vmatrix}1&-2&1\\2&2&-1\\4&-1&1\end{vmatrix}=15\), \(\Delta_x=15\), \(\Delta_y=30\), \(\Delta_z=45\). По правилу Крамера \(x=1\), \(y=2\), \(z=3\).

Ответ: а) \((x,y)=(2,0)\); б) \((x,y)=(\frac25,\frac{13}{5})\); в) \((x,y,z)=(1,2,3)\).