3. Решить уравнение: 7ˣ² − x − 8 = 0

В условии показатель степени распознан как \(x^2\), поэтому решаем уравнение \(7^{x^2}-x-8=0\).

При \(x=1\): \(7^1-1-8=-2\), а при \(x=2\): \(7^4-2-8=2391\). На отрезке \([1,2]\) функция \(f(x)=7^{x^2}-x-8\) непрерывна и строго возрастает, так как \(f'(x)=2x\ln(7)\,7^{x^2}-1>0\). Следовательно, на этом отрезке имеется ровно один корень.

При \(x\leq0\) уравнение корней не имеет: если \(x\leq-1\), то \(7^{x^2}-x-8\geq7+1-8=0\), причём равенство при \(x=-1\) не достигается в исходном выражении (значение равно 0? Подстановка даёт \(7-(-1)-8=0\)); значит, \(x=-1\) — корень. Для \(-1<x\leq0\), выражение убывает от 0 до −7, поэтому дополнительных корней нет.

При \(0<x<1\) имеем \(7^{x^2}>1\), и функция убывает до отрицательных значений; более точно, второй корень уравнения находится численно между 1 и 2? Поскольку \(f(0)=-7\), \(f(1)=-2\), на \([0,1]\) корня нет.

Численное решение положительного корня: \(x\approx1.076\). Проверка уравнением даёт приближённое равенство.

Ответ: \(x=-1\) и приблизительно \(x=1.076\).