3. Решить уравнение: а) \(\dfrac{P_n}{P_{n-2}}=30\); б) \(P_{n+3}=42P_{n+1}\).

Используем формулу \(P_k=k!\).

1. а) \(\dfrac{n!}{(n-2)!}=30\), поэтому \(n(n-1)=30\). Подходящее натуральное решение: \(n=6\), поскольку \(6\cdot5=30\).
2. б) \((n+3)!=42(n+1)!\), следовательно, \((n+3)(n+2)=42\). Отсюда \(n^2+5n-36=0\), то есть \((n-4)(n+9)=0\). Натуральное решение — \(n=4\).

Ответ: а) \(n=6\); б) \(n=4\).