3. Решить уравнение \(\cos(\pi x - \frac{\pi}{4}) = 0\). В ответ запишите корень, ближайший к нулю.

Решение:

1. Уравнение \(\cos t = 0\) имеет решения \( t = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
2. В нашем случае \( t = \pi x - \frac{\pi}{4} \). Приравниваем: \( \pi x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k \).
3. Разделим все на \( \pi \): \( x - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + k \).
4. Выразим \( x \): \( x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + k \) → \( x = \frac{3}{4} + k \).
5. Найдём корни, подставляя разные целые значения \( k \):
• При \( k=0 \): \( x = \frac{3}{4} \).
• При \( k=-1 \): \( x = \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4} \).
• При \( k=1 \): \( x = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} \).
6. Корень, ближайший к нулю, это \( -\frac{1}{4} \).

Ответ: -0.25