4. Решить систему неравенств \(\begin{cases} \sin x > \cos 2x, \\ 0 \le x \le 2\pi \end{cases}\). В ответ запишите число \(\frac{l}{\pi}\), где \(l\) — длина полученного промежутка.

Решение:

1. Преобразуем \(\cos 2x\) через \(\sin x\): \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
2. Неравенство \(\sin x > 1 - 2\sin^2 x \) становится \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0 \).
3. Сделаем замену \( y = \sin x \). Получим квадратное неравенство \( 2y^2 + y - 1 > 0 \).
4. Корни уравнения \( 2y^2 + y - 1 = 0 \) находим по формуле: \( y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \).
5. Корни: \( y_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1 \).
6. Квадратное неравенство \( 2y^2 + y - 1 > 0 \) выполняется при \( y < -1 \) или \( y > \frac{1}{2} \).
7. Учитывая, что \( y = \sin x \) и \( -1 \le \sin x \le 1 \), получаем \( \sin x > \frac{1}{2} \).
8. На интервале \( [0, 2\pi] \) неравенство \(\sin x > \frac{1}{2} \) выполняется при \( x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) \).
9. Длина этого промежутка \( l = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \).
10. Требуется найти \(\frac{l}{\pi}\): \( \frac{2\pi/3}{\pi} = \frac{2}{3} \).

Ответ: 2/3