8. При каких значениях параметра \( a \) уравнение \(\frac{x-1}{6} + \frac{x}{a^2} + \frac{3}{a} = 0\) имеет корень, строго меньший 1? В ответ запишите количество таких отрицательных целых значений \( a \).

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю \( 6a^2 \): \( a^2(x-1) + 6x + 18a = 0 \).
2. \( a^2x - a^2 + 6x + 18a = 0 \).
3. \( x(a^2+6) = a^2 - 18a \).
4. \( x = \frac{a^2-18a}{a^2+6} \).
5. Условие: \( x < 1 \).
6. \( \frac{a^2-18a}{a^2+6} < 1 \).
7. \( \frac{a^2-18a}{a^2+6} - 1 < 0 \).
8. \( \frac{a^2-18a - (a^2+6)}{a^2+6} < 0 \).
9. \( \frac{-18a-6}{a^2+6} < 0 \).
10. Знаменатель \( a^2+6 \) всегда положителен. Поэтому неравенство сводится к \( -18a-6 < 0 \).
11. \( -18a < 6 \).
12. \( a > \frac{6}{-18} \) → \( a > -\frac{1}{3} \).
13. Нам нужно найти количество отрицательных целых значений \( a \).
14. Так как \( a > -\frac{1}{3} \), единственное отрицательное целое значение, удовлетворяющее этому условию, — это \( a = -0.5 \) (не целое) или \( a = -1 \) (целое).
15. Проверим: если \( a=-1 \), то \( -1 > -1/3 \) — неверно.
16. Единственное отрицательное целое значение, которое больше \( -1/3 \) — это \( a = -1 \) - такого нет.
17. Если \( a=-1 \), то \( -18(-1) - 6 = 18 - 6 = 12 > 0 \), то есть \( x > 1 \).
18. Значит, отрицательных целых значений \( a \), удовлетворяющих условию \( a > -1/3 \), нет.

Ответ: 0