7. Координаты точки M(x, y) удовлетворяют системе уравнений \(\begin{cases} x^3+y^3 = 35 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}\). Найти сумму координат точки M. Если таких точек несколько, в ответ записать наименьшую сумму.

Решение:

1. Заметим, что \( x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) \).
2. Также \( x^2-xy+y^2 = (x+y)^2 - 3xy \).
3. Пусть \( s = x+y \) и \( p = xy \).
4. Система уравнений примет вид:
• \( s((x+y)^2 - 3xy) = 35 \) → \( s(s^2 - 3p) = 35 \).
• \( p s = 30 \) → \( ps = 30 \) → \( p = \frac{30}{s} \).
5. Подставим \( p \) в первое уравнение: \( s(s^2 - 3 \cdot \frac{30}{s}) = 35 \).
6. \( s(s^2 - \frac{90}{s}) = 35 \).
7. \( s^3 - 90 = 35 \).
8. \( s^3 = 125 \).
9. \( s = \sqrt[3]{125} = 5 \).
10. Таким образом, сумма координат \( x+y = 5 \).
11. Найдём \( p \): \( p = \frac{30}{5} = 6 \).
12. Теперь у нас есть система: \( x+y=5 \) и \( xy=6 \).
13. \( x \) и \( y \) являются корнями квадратного уравнения \( t^2 - (x+y)t + xy = 0 \) → \( t^2 - 5t + 6 = 0 \).
14. Корни уравнения: \( (t-2)(t-3) = 0 \), то есть \( t_1=2 \) и \( t_2=3 \).
15. Возможные пары \( (x, y) \) — \( (2, 3) \) и \( (3, 2) \).
16. В обоих случаях сумма \( x+y = 2+3 = 5 \).

Ответ: 5