3. Решить уравнение методом разложения: 1) \(5\sin x+3\sin 2x=0\); 2) \(\sin 7x-\sin x=0\).

1. Используем \(\sin 2x=2\sin x\cos x\): \(5\sin x+6\sin x\cos x=0\), то есть \(\sin x(5+6\cos x)=0\). Из первого множителя получаем \(x=\pi k\). Уравнение \(5+6\cos x=0\) потребовало бы \(\cos x=-\frac56\), однако это условие не даёт дополнительных решений? Оно допустимо, поскольку \(-\frac56\in[-1,1]\). Поэтому также \(x=\pm\arccos(-\frac56)+2\pi k\).

2. По формуле разности синусов: \(\sin7x-\sin x=2\cos4x\sin3x=0\). Поэтому \(\cos4x=0\) или \(\sin3x=0\). Получаем \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\) или \(x=\frac{\pi k}{3}\).

Здесь \(k\in\mathbb Z\).