5. Решите уравнение, используя однородность: 1) $\sin x-\sqrt3\cos x=0$; 2) $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$; 3) $\sin x\cos x-\sqrt3\cos^2x=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Решите уравнение, используя однородность: 1) $\sin x-\sqrt3\cos x=0$; 2) $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$; 3) \(\sin…$ Фото задания

5. Решите уравнение, используя однородность: 1) $\sin x-\sqrt3\cos x=0$; 2) $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$; 3) $\sin x\cos x-\sqrt3\cos^2x=0$.

Accepted Answer

При $\cos x=0$ исходное уравнение не выполняется, поэтому делим на $\cos x$: $ g x=\sqrt3$. Значит, $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$.
Если $\cos x=0$, левая часть равна $1$, так что таких решений нет. Делим на $\cos^2x$: $ g^2x-3 g x+2=0$. Отсюда $( g x-1)( g x-2)=0$, поэтому $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ или $x=\arctg2+\pi k$.
Вынесем общий множитель: $\cos x(\sin x-\sqrt3\cos x)=0$. Первый множитель даёт $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$. Для второго, при $\cos x\ne0$, получаем $ g x=\sqrt3$, откуда $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$.

Во всех пунктах $k\in\mathbb Z$.

5. Решите уравнение, используя однородность: 1) \(\sin x-\sqrt3\cos x=0\); 2) \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\); 3) \(\sin x\cos x-\sqrt3\cos^2x=0\).

Ответ: