№3. Решите неравенство методом интервалов: a) (x+11)(x+3)(x-8) <0; б) (x-2)(x + 2)(4x-20) ≥ 0; в) (2x-5)(x²-8x+7)>0.

**№3. Решение неравенств методом интервалов** **a) (x + 11)(x + 3)(x - 8) < 0** * **Находим нули функции:** $$x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11$$ $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ $$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$$ * **Отмечаем нули на числовой прямой:** -11, -3, 8. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -11)$, $(-11, -3)$, $(-3, 8)$, $(8, +\infty)$. * **Определяем знаки на каждом интервале:** * $(-\infty, -11)$: Возьмем $x = -12$. Тогда $(-12 + 11)(-12 + 3)(-12 - 8) = (-1)(-9)(-20) < 0$. Знак минус. * $(-11, -3)$: Возьмем $x = -4$. Тогда $(-4 + 11)(-4 + 3)(-4 - 8) = (7)(-1)(-12) > 0$. Знак плюс. * $(-3, 8)$: Возьмем $x = 0$. Тогда $(0 + 11)(0 + 3)(0 - 8) = (11)(3)(-8) < 0$. Знак минус. * $(8, +\infty)$: Возьмем $x = 9$. Тогда $(9 + 11)(9 + 3)(9 - 8) = (20)(12)(1) > 0$. Знак плюс. * **Выбираем интервалы, где функция меньше нуля (т.к. неравенство < 0):** $(-\infty, -11)$ и $(-3, 8)$. * **Ответ:** $x \in (-\infty, -11) \cup (-3, 8)$. **б) (x - 2)(x + 2)(4x - 20) ≥ 0** * **Находим нули функции:** $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ $$4x - 20 = 0 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$$ * **Отмечаем нули на числовой прямой:** -2, 2, 5. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 5)$, $(5, +\infty)$. * **Определяем знаки на каждом интервале:** * $(-\infty, -2)$: Возьмем $x = -3$. Тогда $(-3 - 2)(-3 + 2)(4(-3) - 20) = (-5)(-1)(-32) < 0$. Знак минус. * $(-2, 2)$: Возьмем $x = 0$. Тогда $(0 - 2)(0 + 2)(4(0) - 20) = (-2)(2)(-20) > 0$. Знак плюс. * $(2, 5)$: Возьмем $x = 3$. Тогда $(3 - 2)(3 + 2)(4(3) - 20) = (1)(5)(-8) < 0$. Знак минус. * $(5, +\infty)$: Возьмем $x = 6$. Тогда $(6 - 2)(6 + 2)(4(6) - 20) = (4)(8)(4) > 0$. Знак плюс. * **Выбираем интервалы, где функция больше или равна нулю (т.к. неравенство ≥ 0):** $(-2, 2)$ и $(5, +\infty)$. Не забываем включить нули функции, так как неравенство нестрогое. * **Ответ:** $x \in [-2, 2] \cup [5, +\infty)$. **в) (2x - 5)(x² - 8x + 7) > 0** * **Находим нули функции:** $$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5$$ $$x^2 - 8x + 7 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$. * **Отмечаем нули на числовой прямой:** 1, 2.5, 7. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 1)$, $(1, 2.5)$, $(2.5, 7)$, $(7, +\infty)$. * **Определяем знаки на каждом интервале:** * $(-\infty, 1)$: Возьмем $x = 0$. Тогда $(2(0) - 5)(0^2 - 8(0) + 7) = (-5)(7) < 0$. Знак минус. * $(1, 2.5)$: Возьмем $x = 2$. Тогда $(2(2) - 5)(2^2 - 8(2) + 7) = (-1)(-5) > 0$. Знак плюс. * $(2.5, 7)$: Возьмем $x = 3$. Тогда $(2(3) - 5)(3^2 - 8(3) + 7) = (1)(-8) < 0$. Знак минус. * $(7, +\infty)$: Возьмем $x = 8$. Тогда $(2(8) - 5)(8^2 - 8(8) + 7) = (11)(7) > 0$. Знак плюс. * **Выбираем интервалы, где функция больше нуля (т.к. неравенство > 0):** $(1, 2.5)$ и $(7, +\infty)$. * **Ответ:** $x \in (1, 2.5) \cup (7, +\infty)$.