№5. Решите неравенство: a) x-3/x+7 >0 б) x+10/x+6 ≤ 0.

**№5. Решение рациональных неравенств** **a) $\frac{x - 3}{x + 7} > 0$** * **Находим нули числителя и знаменателя:** $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$ * **Отмечаем нули на числовой прямой:** -7 и 3. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, 3)$, $(3, +\infty)$. * **Определяем знаки на каждом интервале:** * $(-\infty, -7)$: Возьмем $x = -8$. Тогда $\frac{-8 - 3}{-8 + 7} = \frac{-11}{-1} = 11 > 0$. Знак плюс. * $(-7, 3)$: Возьмем $x = 0$. Тогда $\frac{0 - 3}{0 + 7} = \frac{-3}{7} < 0$. Знак минус. * $(3, +\infty)$: Возьмем $x = 4$. Тогда $\frac{4 - 3}{4 + 7} = \frac{1}{11} > 0$. Знак плюс. * **Выбираем интервалы, где функция больше нуля (т.к. неравенство > 0):** $(-\infty, -7)$ и $(3, +\infty)$. Точка -7 не входит в решение, так как в ней знаменатель равен нулю. * **Ответ:** $x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty)$. **б) $\frac{x + 10}{x + 6} ≤ 0$** * **Находим нули числителя и знаменателя:** $x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10$ $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$ * **Отмечаем нули на числовой прямой:** -10 и -6. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -10)$, $(-10, -6)$, $(-6, +\infty)$. * **Определяем знаки на каждом интервале:** * $(-\infty, -10)$: Возьмем $x = -11$. Тогда $\frac{-11 + 10}{-11 + 6} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак плюс. * $(-10, -6)$: Возьмем $x = -7$. Тогда $\frac{-7 + 10}{-7 + 6} = \frac{3}{-1} = -3 < 0$. Знак минус. * $(-6, +\infty)$: Возьмем $x = 0$. Тогда $\frac{0 + 10}{0 + 6} = \frac{10}{6} > 0$. Знак плюс. * **Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю (т.к. неравенство ≤ 0):** $(-10, -6)$. Точка -10 входит в решение, так как в ней числитель равен нулю. Точка -6 не входит в решение, так как в ней знаменатель равен нулю. * **Ответ:** $x \in [-10, -6)$.