3. Решите неравенство: (x - 1)(x + 2) / (x - 5)² ≤ 0.

Решение:

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 5)^2} \).

Найдём корни числителя и знаменателя:

• \( x - 1 = 0 ⇒ x = 1 \)
• \( x + 2 = 0 ⇒ x = -2 \)
• \( (x - 5)^2 = 0 ⇒ x = 5 \)

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки функции в интервалах.

\( x = 5 \) — точка, в которой знаменатель обращается в ноль, поэтому она не входит в решение.

Рассмотрим знаки множителей:

• Интервал \( (-∞, -2) \): \( \frac{(-)(-) }{+} = + \)
• Интервал \( (-2, 1) \): \( \frac{(-)(+) }{+} = - \)
• Интервал \( (1, 5) \): \( \frac{(+)(+) }{+} = + \)
• Интервал \( (5, +∞) \): \( \frac{(+)(+) }{+} = + \)

Нам нужно, чтобы \( f(x) ≤ 0 \). Это выполняется на интервале \( (-2, 1) \). Так как неравенство нестрогое, включаем корни числителя.

Ответ: \( x ∈ [-2; 1] \)