5. Найдите какой-нибудь первообразную функции f(x) = 4 + 6х² которая принимает отрицательное значение при х = 1.

Решение:

Первообразная функции \( f(x) = 4 + 6x^2 \) находится путём интегрирования:

\( F(x) = ∫ (4 + 6x^2) dx \)

\( F(x) = 4x + 6 · \frac{x^3}{3} + C \)

\( F(x) = 4x + 2x^3 + C \)

Теперь найдём значение \( C \), при котором \( F(1) < 0 \):

\( F(1) = 4 · 1 + 2 · 1^3 + C \)

\( F(1) = 4 + 2 + C \)

\( F(1) = 6 + C \)

Нам нужно, чтобы \( 6 + C < 0 \), значит \( C < -6 \).

Выберем любое значение \( C \), которое меньше \( -6 \), например, \( C = -7 \).

Тогда первообразная будет:

\( F(x) = 4x + 2x^3 - 7 \)

Проверим значение при \( x = 1 \):

\( F(1) = 4 · 1 + 2 · 1^3 - 7 = 4 + 2 - 7 = -1 \).

\( -1 < 0 \), условие выполняется.

Ответ: \( F(x) = 4x + 2x^3 - 7 \)