4. Найдите точку максимума и точку минимума функции y = f(x), если известно, что f'(x) = x² + x - 2.

Решение:

Чтобы найти точки максимума и минимума функции, необходимо найти точки, в которых производная равна нулю, и исследовать знак производной.

1. Приравняем производную к нулю:
• \( f'(x) = x^2 + x - 2 = 0 \)
2. Решим квадратное уравнение:
• \( x^2 + x - 2 = 0 \)
• Дискриминант \( D = 1^2 - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9 \).
• \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)
3. Исследуем знак производной на интервалах:
• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( f'(-3) = (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -2 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0 \) (функция возрастает).
4. Вывод:
• Точка \( x = -2 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с \( + \) на \( - \).
• Точка \( x = 1 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с \( - \) на \( + \).

Ответ: точка максимума — \( x = -2 \), точка минимума — \( x = 1 \)