3. Решите неравенство (x+5)/(3x-9) / (x(2-x)) < 0 и укажите наибольшее целое решение

Привет! Давай решим это дробно-рациональное неравенство.

1. Преобразуем неравенство:

• Запишем выражение в виде одной дроби:
• \[ \frac{x+5}{(3x-9) \cdot x \cdot (2-x)} < 0 \]
• Для удобства преобразуем знак множителя (2-x) в (x-2), изменив знак перед дробью на противоположный:
• \[ \frac{-(x+5)}{x(x-2)(3x-9)} < 0 \]
• Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
• \[ \frac{x+5}{x(x-2)(3x-9)} > 0 \]
• Разложим знаменатель на множители: 3x-9 = 3(x-3).
• \[ \frac{x+5}{3x(x-2)(x-3)} > 0 \]
• Вынесем константу 3 за скобки:
• \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{x+5}{x(x-2)(x-3)} > 0 \]
• Так как 1/3 положительное число, знак неравенства не изменится:
• \[ \frac{x+5}{x(x-2)(x-3)} > 0 \]

2. Находим корни числителя и знаменателя:

• Числитель: x + 5 = 0 => x = -5
• Знаменатель: x(x - 2)(x - 3) = 0 => x = 0, x = 2, x = 3

3. Применяем метод интервалов:

• Отмечаем корни на числовой прямой: -5, 0, 2, 3.
• Определяем знаки на интервалах. Начинаем справа с плюса (для старшей степени x³).
• Интервалы:
• (3; +∞): +
• (2; 3): -
• (0; 2): +
• (-5; 0): -
• (-∞; -5): +

4. Выбираем интервалы, где выражение больше 0:

• (-∞; -5) ∪ (0; 2) ∪ (3; +∞)

5. Указываем наибольшее целое решение:

• Нам нужно наибольшее целое число из этих интервалов.
• Наибольшее целое число в интервале (-∞; -5) — это -6.
• Наибольшее целое число в интервале (0; 2) — это 1.
• Интервал (3; +∞) не имеет наибольшего целого числа (уходит в бесконечность).
• Сравнивая -6 и 1, наибольшим является 1.

Ответ: 1