4. Решите неравенство x(2-x) / (x-1)² ≥ 0

Привет! Давай разберемся с этим дробно-рациональным неравенством.

1. Анализируем выражение:

• У нас есть дробь: x(2 - x) / (x - 1)² ≥ 0.
• Знаменатель (x - 1)² всегда неотрицателен (≥ 0) и не равен нулю, поэтому x ≠ 1.
• Знак всей дроби зависит от знака числителя x(2 - x) и знака знаменателя.
• Так как знаменатель всегда положителен (кроме x=1), нам нужно, чтобы числитель был неотрицателен: x(2 - x) ≥ 0.

2. Решаем неравенство для числителя:

• x(2 - x) ≥ 0
• Найдем корни уравнения x(2 - x) = 0: x = 0 и x = 2.
• Парабола y = x(2 - x) = 2x - x² имеет ветви, направленные вниз (из-за коэффициента -1 перед x²).
• Неравенство x(2 - x) ≥ 0 выполняется между корнями, включая сами корни.
• Получаем интервал: [0; 2].

3. Учитываем ограничение знаменателя:

• Мы знаем, что x ≠ 1.
• Из интервала [0; 2] нужно исключить значение 1.
• Получаем объединение интервалов: [0; 1) ∪ (1; 2].

Ответ: [0; 1) ∪ (1; 2]