6. Решите систему неравенств: x(x + 3) > 0; ((x - 4)(x + 4) ≤ 0

Привет! Давай разберем эту систему неравенств.

1. Решаем первое неравенство:

• x(x + 3) > 0
• Корни уравнения x(x + 3) = 0: x = 0 и x = -3.
• Парабола y = x(x + 3) имеет ветви вверх.
• Неравенство выполняется вне корней.
• Решение первого неравенства: (-∞; -3) ∪ (0; +∞).

2. Решаем второе неравенство:

• (x - 4)(x + 4) ≤ 0
• Корни уравнения (x - 4)(x + 4) = 0: x = 4 и x = -4.
• Парабола y = (x - 4)(x + 4) имеет ветви вверх.
• Неравенство выполняется между корнями, включая корни.
• Решение второго неравенства: [-4; 4].

3. Находим пересечение решений:

• Первое неравенство: (-∞; -3) ∪ (0; +∞)
• Второе неравенство: [-4; 4]
• Нам нужно найти общие значения.
• Пересечение (-∞; -3) с [-4; 4] дает [-4; -3).
• Пересечение (0; +∞) с [-4; 4] дает (0; 4].
• Объединяем эти два промежутка.

Ответ: [-4; -3) ∪ (0; 4]