3. Решите неравенство x² + x ≥ 0.

Решение:

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + x = 0 \) и определим знаки выражения на интервалах.

1. Решим уравнение \( x^2 + x = 0 \):
• Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x + 1) = 0 \)
• Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -1 \).
2. Разместим корни на числовой оси. Они делят ось на три интервала: \( (-\infty; -1] \), \( [-1; 0] \), \( [0; \infty) \).
3. Определим знак выражения \( x^2 + x \) в каждом интервале:
• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2 > 0 \).
• При \( -1 < x < 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \( (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25 < 0 \).
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 > 0 \).
4. Нам нужно найти значения, где \( x^2 + x \geq 0 \). Это интервалы, где выражение положительное или равно нулю.

Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [0; \infty) \).