5. Периметр прямоугольника равен 54 м, а его площадь равна 50 м². Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника.

По условию задачи:

• Периметр \( P = 2(a + b) = 54 \) м.
• Площадь \( S = a \cdot b = 50 \) м².

Из первого уравнения найдем сумму сторон:

\( a + b = \frac{54}{2} = 27 \) м.

Теперь у нас есть система уравнений:

• \( a + b = 27 \)
• \( a \cdot b = 50 \)

Эта система аналогична теореме Виета. \( a \) и \( b \) являются корнями квадратного уравнения \( x^2 - (a+b)x + ab = 0 \).

Подставим известные значения:

\( x^2 - 27x + 50 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение:

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 729 - 200 = 529 \)
2. \( \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \)
3. Найдем корни:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 23}{2 \cdot 1} = \frac{50}{2} = 25 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 23}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

Значит, стороны прямоугольника равны 25 м и 2 м.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 25 м и 2 м.