3. Решите системы уравнений:

Решение:

а)

Система уравнений:

\( \begin{cases} 7x + 8y = -23 \\ 5x + 4y = -13 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( -2(5x + 4y) = -2(-13) \)

\( -10x - 8y = 26 \)

Теперь сложим первое уравнение с изменённым вторым:

\( (7x + 8y) + (-10x - 8y) = -23 + 26 \)

\( 7x - 10x + 8y - 8y = 3 \)

\( -3x = 3 \)

\( x = -1 \)

Подставим \( x = -1 \) во второе уравнение системы:

\( 5(-1) + 4y = -13 \)

\( -5 + 4y = -13 \)

\( 4y = -13 + 5 \)

\( 4y = -8 \)

\( y = -2 \)

Ответ к а): \( x = -1, y = -2 \).

б)

Система уравнений:

\( \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{5} = -3 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = \frac{22}{5} \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5):

\( 15(\frac{x}{3} - \frac{y}{5}) = 15(-3) \)

\( 5x - 3y = -45 \) (1)

Умножим второе уравнение на 10 (наименьшее общее кратное 5 и 2):

\( 10(\frac{x}{5} + \frac{y}{2}) = 10(\frac{22}{5}) \)

\( 2x + 5y = 44 \) (2)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (2). Умножим уравнение (1) на 2, а уравнение (2) на 5, чтобы коэффициенты при \( x \) стали одинаковыми:

\( 2(5x - 3y) = 2(-45) \Rightarrow 10x - 6y = -90 \) (3)

\( 5(2x + 5y) = 5(44) \Rightarrow 10x + 25y = 220 \) (4)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\( (10x + 25y) - (10x - 6y) = 220 - (-90) \)

\( 10x + 25y - 10x + 6y = 220 + 90 \)

\( 31y = 310 \)

\( y = 10 \)

Подставим \( y = 10 \) в уравнение (2):

\( 2x + 5(10) = 44 \)

\( 2x + 50 = 44 \)

\( 2x = 44 - 50 \)

\( 2x = -6 \)

\( x = -3 \)

Ответ к б): \( x = -3, y = 10 \).