5. Периметр прямоугольника равен 52 см. Если одну его сторону увеличить в два раза, а другую уменьшить на 5 см, то периметр нового прямоугольника будет равен 62 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Решение:

Пусть \( a \) — длина одной стороны прямоугольника, а \( b \) — длина другой стороны. По условию, периметр равен 52 см:

\( 2(a + b) = 52 \)

\( a + b = 26 \) (1)

Новый прямоугольник имеет стороны \( 2a \) и \( b - 5 \) (или \( a \) и \( 2b - 5 \)). Периметр нового прямоугольника равен 62 см:

\( 2(2a + (b - 5)) = 62 \)

\( 2a + b - 5 = 31 \)

\( 2a + b = 36 \) (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\( \begin{cases} a + b = 26 \\ 2a + b = 36 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (2a + b) - (a + b) = 36 - 26 \)

\( 2a + b - a - b = 10 \)

\( a = 10 \)

Подставим \( a = 10 \) в уравнение (1):

\( 10 + b = 26 \)

\( b = 26 - 10 \)

\( b = 16 \)

Стороны прямоугольника равны 10 см и 16 см. Меньшая сторона равна 10 см.

Проверим, если бы мы взяли другие стороны для нового прямоугольника: \( a - 5 \) и \( 2b \).

\( 2((a - 5) + 2b) = 62 \)

\( a - 5 + 2b = 31 \)

\( a + 2b = 36 \)

Система:

\( \begin{cases} a + b = 26 \\ a + 2b = 36 \end{cases} \)

Вычтем первое из второго:

\( (a + 2b) - (a + b) = 36 - 26 \)

\( b = 10 \)

Подставим \( b = 10 \) в \( a + b = 26 \):

\( a + 10 = 26 \)

\( a = 16 \)

В этом случае стороны 16 см и 10 см. Меньшая сторона также 10 см.

Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна 10 см.