3. Решите уравнение: 1) $(7^{x+3})^{x-4}=\left(\frac17\right)^x\cdot49^{x+6}$; 2) $7\cdot49^x+10\cdot28^x=8\cdot16^x$; 3) $(\sqrt{5+2\sqrt6})^x+(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=10$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Решите уравнение: 1) $(7^{x+3})^{x-4}=\left(\frac17\right)^x\cdot49^{x+6}$; 2) $7\cdot49^x+10\cdot28^x=8\cdot16^x$; 3)…$ Фото задания

3. Решите уравнение: 1) $(7^{x+3})^{x-4}=\left(\frac17\right)^x\cdot49^{x+6}$; 2) $7\cdot49^x+10\cdot28^x=8\cdot16^x$; 3) $(\sqrt{5+2\sqrt6})^x+(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=10$.

Accepted Answer

1) Представим обе части как степени числа 7: $7^{(x+3)(x-4)}=7^{-x+2(x+6)}=7^{x+12}$. Так как основания равны и больше 1, приравниваем показатели: $(x+3)(x-4)=x+12$.

Получаем $x^2-2x-24=0$, то есть $(x-6)(x+4)=0$. Следовательно, $x=6$ или $x=-4$.

2) Разделим уравнение на $16^x>0$ и обозначим $t=\left(\frac74\right)^x>0$. Тогда $\frac{49^x}{16^x}=t^2$, а $\frac{28^x}{16^x}=t$. Получаем $7t^2+10t=8$, или $7t^2+10t-8=0$.

Корни: $t=\frac47$ и $t=-2$. Поскольку $t>0$, остаётся $\left(\frac74\right)^x=\frac47=\left(\frac74\right)^{-1}$, откуда $x=-1$.

3) Имеем $\sqrt{5+2\sqrt6}=\sqrt3+\sqrt2$, а $\sqrt{5-2\sqrt6}=\sqrt3-\sqrt2=\frac1{\sqrt3+\sqrt2}$. Обозначим $a=\sqrt3+\sqrt2>1$. Тогда уравнение принимает вид $a^x+a^{-x}=10$.

Положим $t=a^x>0$. Тогда $t+\frac1t=10$, то есть $t^2-10t+1=0$. Отсюда $t=5\pm2\sqrt6$. Эти значения равны $a^2$ и $a^{-2}$, поэтому $x=2$ или $x=-2$.

Ответ: 1) $x=-4, 6$; 2) $x=-1$; 3) $x=-2, 2$.

3. Решите уравнение: 1) \((7^{x+3})^{x-4}=\left(\frac17\right)^x\cdot49^{x+6}\); 2) \(7\cdot49^x+10\cdot28^x=8\cdot16^x\); 3) \((\sqrt{5+2\sqrt6})^x+(\sqrt{5-2\sqrt6})^x=10\).

Ответ: