5. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(25^x-(a-4)\cdot5^x-2a^2+10a-12=0\) не имеет действительных корней?

Положим \(t=5^x\). Для любого действительного \(x\) имеем \(t>0\), а \(25^x=t^2\). Уравнение равносильно \(t^2-(a-4)t-2a^2+10a-12=0\).

Разложим постоянный член: \(-2a^2+10a-12=-2(a-2)(a-3)\). Дискриминант квадратного уравнения по \(t\) равен \((a-4)^2+8(a-2)(a-3)=(3a-8)^2\). Его корни — \(t=2-a\) и \(t=2a-6\).

Действительный корень исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих корней положителен, поскольку каждому \(t>0\) соответствует действительное \(x=\log_5 t\). Оба корня неположительны при \(a\geq2\) и \(a\leq3\), то есть при \(2\leq a\leq3\).

Ответ: \(a\in[2,3]\).