3. Решите уравнение 9^x + 80 · 3^x − 81 = 0.

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней: \( (3^2)^x + 80 \cdot 3^x - 81 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( (3^x)^2 + 80 \cdot 3^x - 81 = 0 \).

Введем замену: пусть \( y = 3^x \). Так как \( 3^x > 0 \) для любого \( x \), то \( y > 0 \).

Получаем квадратное уравнение относительно \( y \): \( y^2 + 80y - 81 = 0 \).

1. Найдем дискриминант: \( D = 80^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 6400 + 324 = 6724 \).
2. Найдем \( \sqrt{D} \): \( \sqrt{6724} = 82 \).
3. Найдем корни уравнения для \( y \):
• \( y_1 = \frac{-80 + 82}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( y_2 = \frac{-80 - 82}{2} = \frac{-162}{2} = -81 \)
4. Так как \( y > 0 \), то \( y_2 = -81 \) не подходит.
5. Возвращаемся к замене: \( 3^x = y_1 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 1 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 3^0 \) \( \Rightarrow \) \( x = 0 \).

Ответ: \( x = 0 \).