5. Угол между боковым ребром и основанием правильной треугольной пирамиды равен arctg2. Найдите площадь основания пирамиды, если ее объем равен 30.

Решение:

Обозначим:

• \( V \) — объем пирамиды.
• \( S_{осн} \) — площадь основания.
• \( H \) — высота пирамиды.
• \( a \) — сторона основания правильной треугольной пирамиды.
• \( R \) — радиус описанной окружности около основания.
• \( \alpha \) — угол между боковым ребром и основанием.

Дано: \( V = 30 \), \( \alpha = \operatorname{arctg} 2 \).

Найти: \( S_{осн} \).

1. Формула объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \).
2. Площадь правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
3. Радиус описанной окружности около правильного треугольника: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
4. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и боковым ребром, угол между боковым ребром и основанием равен \( \alpha \).
5. Из этого треугольника: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{R} \).
6. Так как \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \), то \( \frac{H}{R} = 2 \) \( \Rightarrow \) \( H = 2R \).
7. Подставим \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \): \( H = 2 \frac{a}{\sqrt{3}} \).
8. Теперь подставим \( S_{осн} \) и \( H \) в формулу объема:
• \( 30 = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} \)
• \( 30 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2a^3}{4} \)
• \( 30 = \frac{a^3}{6} \)
• \( a^3 = 30 \cdot 6 = 180 \)
• \( a = \sqrt[3]{180} \)
9. Найдем площадь основания:
• \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt[3]{180})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{180^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} \)

Ответ: \( \frac{180^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{4} \).