4. Найдите сумму всех целых решений неравенства log√5 x + log√5(x + 4) ≤ 2.

Решение:

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:

• \( x > 0 \)
• \( x + 4 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( x > -4 \)

Объединяя условия, получаем \( x > 0 \).

Преобразуем неравенство:

1. Сложим логарифмы: \( \log_{\sqrt{5}} (x(x+4)) \le 2 \).
2. Представим 2 в виде логарифма по основанию \( \sqrt{5} \): \( 2 = \log_{\sqrt{5}} ((\sqrt{5})^2) = \log_{\sqrt{5}} 5 \).
3. Теперь неравенство выглядит так: \( \log_{\sqrt{5}} (x^2 + 4x) \le \log_{\sqrt{5}} 5 \).
4. Так как основание логарифма \( \sqrt{5} > 1 \), то функция логарифма возрастающая. Следовательно, можно опустить знак логарифма, сохранив знак неравенства: \( x^2 + 4x \le 5 \).
5. Решим полученное квадратное неравенство: \( x^2 + 4x - 5 \le 0 \).
6. Найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + 4x - 5 = 0 \):
• \( x_1 = 1 \)
• \( x_2 = -5 \)
7. Парабола \( y = x^2 + 4x - 5 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 4x - 5 \le 0 \) при \( -5 \le x \le 1 \).
8. Учтем ОДЗ \( x > 0 \). Пересечением \( -5 \le x \le 1 \) и \( x > 0 \) является \( 0 < x \le 1 \).
9. Целые решения данного неравенства — это \( x = 1 \).
10. Сумма всех целых решений равна 1.

Ответ: 1.