3. Решите уравнение: a) √1-x = x + 1 б) (2x+4)/(x^2-x) - (x-4)/(x^2+x) = 0 в) (1/5)^(2-3x) = 25 г) 2 sin x + √2 = 0

3. Решение уравнений:

1. а) \( \sqrt{1-x} = x + 1 \)

   Возведём обе части в квадрат:

   \( 1-x = (x+1)^2 \)

   \( 1-x = x^2 + 2x + 1 \)

   \( x^2 + 3x = 0 \)

   \( x(x+3) = 0 \)

   Получаем \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -3 \). Проверим ОДЗ: \( x+1 \ge 0 \), т.е. \( x \ge -1 \).

   \( x_1 = 0 \) подходит, так как \( 0 \ge -1 \).

   \( x_2 = -3 \) не подходит, так как \( -3 < -1 \).

2. б) \( \frac{2x+4}{x^2-x} - \frac{x-4}{x^2+x} = 0 \)

   Вынесем общий множитель в знаменателях:

   \( \frac{2x+4}{x(x-1)} - \frac{x-4}{x(x+1)} = 0 \)

   Общий знаменатель: \( x(x-1)(x+1) \). ОДЗ: \( x
   e 0, x
   e 1, x
   e -1 \).

   Приведём к общему знаменателю:

   \( \frac{(2x+4)(x+1) - (x-4)(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = 0 \)

   \( (2x^2 + 2x + 4x + 4) - (x^2 - x - 4x + 4) = 0 \)

   \( 2x^2 + 6x + 4 - (x^2 - 5x + 4) = 0 \)

   \( 2x^2 + 6x + 4 - x^2 + 5x - 4 = 0 \)

   \( x^2 + 11x = 0 \)

   \( x(x+11) = 0 \)

   Получаем \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -11 \).

   Учитывая ОДЗ \( x
   e 0 \), корень \( x_1 = 0 \) отбрасываем. Корень \( x_2 = -11 \) подходит.

3. в) \( \left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x} = 25 \)

   Представим \( 25 \) как степень \( \frac{1}{5} \):

   \( \left(\frac{1}{5}\right)^{2-3x} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} \)

   Приравниваем показатели степеней:

   \( 2-3x = -2 \)

   \( -3x = -4 \)

   \( x = \frac{4}{3} \)

4. г) \( 2 \sin x + \sqrt{2} = 0 \)

   \( 2 \sin x = -\sqrt{2} \)

   \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

   Это частный случай. Значения \( x \) соответствуют углам, синус которых равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

   \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

   Эти два семейства решений можно объединить:

   \( x = (-1)^n \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: а) 0; б) -11; в) 4/3; г) \( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).