7. а) Решите уравнение: x - 3√(x-1) + 1 = 0 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3; √20].

7. Решение уравнения:

1. а) \( x - 3\sqrt{x-1} + 1 = 0 \)

   Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \sqrt{x-1} \). Тогда \( t \ge 0 \). Возведём в квадрат: \( t^2 = x-1 \), откуда \( x = t^2 + 1 \).

   Подставим в уравнение:

   \( (t^2+1) - 3t + 1 = 0 \)

   \( t^2 - 3t + 2 = 0 \)

   Решим квадратное уравнение относительно \( t \). По теореме Виета:

   • \( t_1 + t_2 = 3 \)
   • \( t_1 · t_2 = 2 \)

   Корни: \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = 2 \).

   Оба значения \( t \) удовлетворяют условию \( t · 0 \).

   Найдем \( x \):

   • Если \( t_1 = 1 \): \( \sqrt{x-1} = 1 \implies x-1 = 1 \implies x = 2 \).
   • Если \( t_2 = 2 \): \( \sqrt{x-1} = 2 \implies x-1 = 4 \implies x = 5 \).
2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3; √20].

   Приближенные значения корней:

   • \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
   • \( \sqrt{20} \approx 4.472 \)

   Проверим, принадлежат ли найденные корни \( x=2 \) и \( x=5 \) отрезку \( [\sqrt{3}; \sqrt{20}] \) (т.е. \( [1.732; 4.472] \)).

   • Корень \( x=2 \) принадлежит отрезку, так как \( 1.732 \le 2 \le 4.472 \).
   • Корень \( x=5 \) не принадлежит отрезку, так как \( 5 > 4.472 \).

Ответ: а) 2; 5; б) 2.