3. Решите уравнение \(\sqrt{x - 2} = x - 4\).

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x - 2} = x - 4 \) необходимо возвести обе части уравнения в квадрат и учесть условия:

1. Область допустимых значений (ОДЗ) для корня: \( x - 2 \ge 0 \) \( \Rightarrow x \ge 2 \).
2. Условие неотрицательности правой части: \( x - 4 \ge 0 \) \( \Rightarrow x \ge 4 \).
3. Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x - 2})^2 = (x - 4)^2 \) \( \Rightarrow x - 2 = x^2 - 8x + 16 \).
4. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 - 8x + 16 - x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 - 9x + 18 = 0 \).
5. Найдем корни квадратного уравнения: Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \). Корни: \( x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3 \).
6. Проверим корни на соответствие условию \( x \ge 4 \):
   • Корень \( x_1 = 6 \) удовлетворяет условию \( 6 \ge 4 \).
   • Корень \( x_2 = 3 \) не удовлетворяет условию \( 3 \ge 4 \).

Ответ: \( x = 6 \).