3) Решите уравнение: \(x^5+x^4+1=0\).

Обозначим \(f(x)=x^5+x^4+1\). При \(x\geq -1\) имеем \(x^4(x+1)+1>0\), поэтому корней на этом промежутке нет.

При \(x<-1\) производная \(f'(x)=x^3(5x+4)>0\), следовательно, функция строго возрастает. Так как \(f(-2)=-7<0\), а \(f(-1)=1>0\), на промежутке \((-2,-1)\) есть ровно один корень. В элементарных выражениях он не раскладывается; найдём приближение численно.

Методом деления пополам получаем корень примерно \(x\approx -1.1939\).

Ответ: единственный действительный корень \(x\approx -1.1939\).